n厨
＞まさる様
すみません少し掲示板で、皆さんにお聞きしたい問題がありまして質問させてください。
基本的にスレ(？)違いなのでスルーしてもらって構わないのですが。

この問題はネット(○ch)上で発見した問題です
辺aの正四面体のそれぞれの頂点を中心とする半径aの球をかくとき,それら4つの球の共通な部分の体積を求めよ。

東大実戦の問題ということらしいのですが、これはどう評価できましょう？
一応自分なりの解答は得ているのですが、合ってるかはわからず30分以上は普通にかかるしなんや(実戦の問題ということが)ハッタリ臭く思って仕方ないのですが。。

　　 9月17日（土） 20:30:26　　 　　25825
ｎ厨
×辺a
○1辺a
すみません。
　　 9月17日（土） 20:39:29　　 　　25826
仮面ランナー サブスリー
#25813、#25819：
uchinyanさん、ゆりの父さん さん、ありがとうございます。
緻密な考察と鮮やかな着想に感服しました。シミュレーション、理論の両面から1/8という同じ結論が
出たわけですね。新たな発見があり、私も問題を書き込んでみた甲斐がありました。

ゆりの父さん さんの解法の核は「それぞれ8個の曲面三角形は同等な関係にある」の一言に尽きますね。
簡潔ながら強い説得力のある視点です。
ということは、uchinyanさんの予想(#25817)「n次元の場合の確率は (1/2)^n」も正しそうな気がします。

uchinyanさんの乱数シミュレーションも勉強になりました。念のためプログラム導出に至るまでの議論
を追ってみましたが、妥当と思います。

スモークマンさんの問題 #25816：
私もuchinyanさんと同感で、結局これは同じ問題に帰着すると思います。
じつは、uchinyanさんが披露された乱数シミュレーションによって解く手法を見たのを
きっかけに、私も新たに以下の問題を考えつきました。
(あとから #25816 を見て「私のとそっくり！」と思いました)

|　[別題]
|　3次元空間内に固定された点Ｏがある。
|　3次元空間から点Ｏだけを除いた領域Ｒ内に4つの異なる点をランダムに選ぶ。
|　点Ｏがこれら4点を2点ずつ結んでできる四面体の内部(あるいは面上)にくる確率はいくらか。

次のような理由から、この答は本題と同じになると思うのですが、どうでしょうか。

(理由)
領域Ｒ内の点Ａに対して、直線ＯＡと本題の球面との交点Ａ’を対応させる。
この対応づけによって、別題で領域Ｒ内に4点をランダムにとることは、本題で球面上に
4点をランダムにとることに帰着する。
(無限遠まで含めて考えているところが少しモヤッとしますが)
　　 9月18日（日） 12:10:27　　 　　25827
uchinyan
#25824＆#25827：
仮面ランナーサブスリーさんも、ゆりの父さん さんの解法に納得なされたようなので、本題はひとまず解決ですね。
それにしても、ゆりの父さん さんの解法には、本当に、頭をガーンと殴られたようでした。
気付かなかった自分に腹が立つ．．． (^^;
＞ゆりの父さん さんの解法の核は「それぞれ8個の曲面三角形は同等な関係にある」の一言に尽きますね。
はい、そう思います。
負け惜しみで強いて付け加えると、球面という、対称性の高い一様な閉じた領域であることが、その裏にあると思います。
ゆりの父さん さん、書き込み、大変ありがとうございました。
さて、別題の方ですが．．．
スモークマンさんの問題のように、領域Rが球と同じような対称性をもっていれば、問題ないと思います。
半径方向の自由度は、その対称性によって相殺されると思うので。
そうでない場合は、ちょっと微妙ではないかなぁ。
半径方向の自由度が効いてきて、領域Rの形状に依存するような気もするのですが．．．
ネコの住む家　　 9月18日（日） 14:32:44　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25828
スモークマン
#25827&#25828
仮面ランナーサブスリー（長い名前だこと。。。）＆uchinyanさんへ。
　[別題]
|　3次元空間内に固定された点Ｏがある。
|　3次元空間から点Ｏだけを除いた領域Ｒ内に4つの異なる点をランダムに選ぶ。
|　点Ｏがこれら4点を2点ずつ結んでできる四面体の内部(あるいは面上)にくる確率はいくらか。

わたしも球の中心以外の点ではどうなんだろうかって考えて見たんですが、簡単ではなさそうに思いました。uchinyannさんと同じです。
円内においても中心点でない場合、例えば、円周に限りなく近い場合は、確率０になりそうに思うのですが・・・
１次元の場合においても中心点でなければ、たとえば、1/3の点なら、1-((1/3)^2+(2/3)^2)=4/9 < 1/2 となると思いますし。。。
金光　　 9月18日（日） 16:54:05　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　25829
スモークマン
#25835
n房さんの問題：

1辺aの正四面体のそれぞれの頂点を中心とする半径aの球をかくとき,それら4つの球の共通な部分の体積を求めよ。

2次元だったらπa^2/2-√3*a/2 になると思いますが、3次元になると空間図形が頭に浮かばない・・・

また全然違う問題なのですが。。。

問題
どのようなn個の整数の組み合わせでも、その中から、合計が18で割り切れるような18個の数を選ぶことができる。そのようなnの最小値をみつけてください。

どなたかスマートな解法を教えて下さいませ！
金光＠岡山　　 9月19日（月） 14:13:57　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　25830
スモークマン
誤：πa^2/2-√3*a/2
正：πa^2/2-√3*a^2/2 = a^2*(π-√3)/2
↓
金光＠岡山　　 9月19日（月） 17:56:10　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　25831
ｎ厨
＞スモークマンさん
僕のHNがあれですが。。。まぁそこはいいとして
ありがとうございます。
求める体積をVとして
僕の解答
V/a^3=(sqrt(2)/12)+4(18-7sqrt(6))pi/27
模試の問題と聞きましたが、やっぱり違うような。。
解答方法はアルキメデスの定理をいくつか使っています。
　　 9月19日（月） 18:40:36　　 　　25832
スモークマン
#25832
> n厨さんへ。
HN 間違えてごめんなさいませ。「厨房」の「厨」の方なんでしたか。。。関係ないけど、だったら、「エンチュウ」て読むんですか・・・？

できればもっと詳しい解法をご披露いただけたらありがたいのですが。
何せ空間は苦手なものでして。。。だから聞いても分からない可能正大とは思うんですけどね。（汗）
金光　　 9月19日（月） 22:48:20　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　25833
吉川　マサル
「ギャンブル宝典special」の１１月号原稿をようやく書きました。〆切過ぎてる
ことをすっかり忘れてて慌てて書いたのでミス等あるかも。(^^;;

--------こっから-----------
　暑い夏も終わり、いよいよ待ちに待った「ギャンブルの秋」がやってまいりました。
例年この季節はギャンブル三昧、負け三昧なのですが、今年はさすがに独立元年なの
でそうも行かない＝あまり負けない、という素晴らしい？年になりそうな感じです。
はぁ〜。（なぜかため息）
　さて皆様、唐突ですが「アカギ」というマンガはご存じでしょうか。天才ギャンブ
ラーのアカギが様々な相手と麻雀をやるという、まぁありがちなマンガなのですが、
これが面白い。で、今は「鷲巣」なる相手と闘っているのですが、巨大な資金力を持
つ相手に、麻雀の強さで数倍上回るアカギが立ち向かう、というお話です。私も新し
い単行本が出るのを楽しみにしまくっているのですが、果たしてアカギは鷲巣に勝て
るのか？というのは全国のアカギファンが考えるところかと思います。そこで今週の
問題です。

　問）Ａ君とＢ君がギャンブルをすることになりました。Ａ君はＢ君の２倍強いので
すが、Ｂ君はＡ君の２倍資金があります。どちらかの資金がなくなるまで勝負すると
すると、Ａ君の勝つ確率は？

　ちょっとマンガを現実に近づけて、まぁ「あってもおかしくない」程度のシチュエ
ーションにしてみました。とは言っても、実はこの問題は大学入試問題としても超難
問です。以前にも何度か登場してはいるのですが、「確率の方程式」っぽいこと（ホ
ントは漸化式といいます）をやらなくちゃならないんです。というわけで、詳しい計
算は端折っちゃうとして、サワリだけを扱っておくことにします。
　さて、Ａ君の勝つ確率＝Ｂ君が破産する確率、ですので、ここでは「Ｂ君が破産す
る確率」を求めてみることにします。まず、２人の勝利確率をそれぞれ求めておきま
す。Ａ君はＢ君の２倍勝ちやすくて、２人の勝つ確率の合計は１ですから、Ａ君の勝
つ確率＝２／３、Ｂ君の勝つ確率＝１／３ですね。また、資金はＡ君がｋ万円、Ｂ君
が２ｋ万円で、１回の勝負で１万円が行き来することにします。で、Ｂ君の残り金額
がｘ万円のとき、Ｂ君が破産する確率をＰ(ｘ)とすると、こんな式が成り立つんです。

　Ｐ(ｘ)＝Ｐ(ｘ＋１)／３＋２Ｐ(ｘ−１)／３

これはつまり、１／３の確率で勝ったらＰ(ｘ＋１)、２／３の確率で負けたらＰ(ｘ
＋１)となることを示していて、その合計がＰ(ｘ）ってことなんですが、まぁそんな
わけでこれを計算すると、Ｐ(2ｋ）、すなわち２ｋ万円持っているＢ君が破産する確
率は、２^2k／（１＋２^k＋２^2K）ってことになるんです！
　「なるんです！」と言ってもなんだかよく分からない方も多いことでしょうから、
ｋ＝１０、つまりＡ君の資金が１０万円、Ｂ君の資金が２０万円だとして計算してみ
ましょうか。この場合、Ｂ君の破産確率は１０４８５７６／１０４９６０１＝０．９
９９０２・・・つまり、９９.９％Ｂ君の負け、ということになってしまうんです！
ちなみにｋ＝１の場合だと４／７の確率でＢ君の負けです。ｋ＝１ってことは、Ａ君
は資金１万円ですから、最初に負けたらそれで破産なんですが、それでもＢ君が負け
る確率が高いんです。これは凄いことですよね。

　よく巷では「ギャンブルなんて、結局は資金の多いモノが強いんだよ」というセリ
フを聞きますが、確率計算をしてみると「資金不足は十分ウデでカバーできる」とい
う結果が出てきますね。そうなると、アカギの挑んでいる勝負もあながち無謀とも言
えなさそうですねぇ。ん？ということはしょっちゅう負けてる私は、やはり腕が...
ということなのか。（涙）

PowerBook G4　　 9月21日（水） 1:55:28　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25834
ｎ厨
＞スモークマンさん
「エヌ」そのままでいいですが、なんでもいいです。
僕が追っている人だとか、在籍している学校の頭文字など色々意味は含めていますが。。人にはどうでもいいことですし。

解答書こうとしましたが、もう一度考えて見てこれはおそらく積分の途中で逆三角関数使わないと解けないことがわかりました。すみません、ありがとうございました。皆様＞色々ご迷惑かけてすみませんでした。
　　 9月21日（水） 23:07:37　　 　　25835
ｎ厨
あと#25832は間違った解答ですね。
連投すみません。
　　 9月21日（水） 23:09:23　　 　　25836
あ〜く＠ジューク
108・36・36の二等辺三角形を最後まで忘れていた・・・

ただただ二等辺三角形と二等辺三角形をくっつけて考えられるパターンを確かめただけだから合理的ではないなぁ・・・
未完成の蜜柑星　　 9月22日（木） 0:15:05　　 MAIL:ishizaki@qa.so-net.ne.jp 　　25837
吉川　マサル
ちょっと不安なのが問題の文章です。私の想定する題意がちゃんと伝わっているだろうか...。
PowerBook G4　　 9月22日（木） 0:19:49　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25838
ミキティ
意味は通じると思います、多分……。場合分けがちょっと大変でした。
(1)　分断線が、どちらかの底角を通る場合：
　36°と 180/7°
(2)　分断線が、頂角を通る場合：
　90°と 108°
　　 9月22日（木） 0:23:58　　 HomePage:みきこむ　　25839
どっかに
あった。　　長野さん、ありがとう。
　　 9月22日（木） 0:24:14　　 　　25840
むらい
頂角Ａの△ＡＢＣとしまして
頂角が�￣坡僉´�直角　�Ｆ潦僉　，脳豺臺�けしました
�。贈弔魄�くとして　ＢＣ＝ＢＤ ＢＤ＝ＡＤの場合（図の場合）　３６度
　ＢＣ＝ＣＤ　ＢＤ＝ＡＤの場合　180/7度
��直角二等辺のみで　９０度
��ＡＤを引くとして　ＡＤ＝ＤＣ（ＤＢ）の場合のみで　１０８度
全部足して　1818/7度となりました。
クーラーの効きすぎた部屋　　 9月22日（木） 0:32:30　　 HomePage:問題　　25842
トトロ＠Ｎ
うーん、やっとできた。
#25837　同じ三角形が最後に見つかりました。
兵庫県明石市　　 9月22日（木） 0:39:34　　 MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp 　　25843
ちゃーみー
ミキティさんと同じ方針でした。
第一感では3種類だったのですが、計算した結果、直角二等辺を考え落としていることに気付きました(笑)。
　　 9月22日（木） 0:43:03　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　25844
トトロ＠Ｎ
問題の図に角度が表示されている角を頂角から反時計周りに表したとき
x,x,x,2x,2xが36°　x,x,x,x,2xが90°　x,x,2x,3x,2xが180/7°　x,x,2x,x,2xが108°
兵庫県明石市　　 9月22日（木） 0:49:09　　 MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp 　　25845
アヒーのおじさん

かなり苦労しました（＾＾；
最後に見つけたのは180/7でした（ぉ）

余談

なぜだか正解者の覧の名前が「アヒーのおじさ」になってしまいました
最初何も考えずに360°とか180°とかおくりつけた天罰でしょうか（笑）
9点円の中心　　 9月22日（木） 0:49:24　　 HomePage:正体不明　　25846
taku
私も最後に180/7が見つかりました。
分数計算は苦手です。
　　 9月22日（木） 0:54:55　　 MAIL:takuo@kcv.ne.jp 　　25847
ゴンとも
これは一見して見たことがあったので見ると
『めざせ、数学オリンピック』(現代数学社)の42ページの問題
と同じでした。しかし手を伸ばした所にあったのにかかわらず
他の部屋までいってたのと寝過ごして遅れて残念でした。
豊川市　　 9月22日（木） 1:07:36　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　25848
ｎ厨
久しぶりに愚直な解答書いてみる。
頂角180/7の三角形は敷き詰め問題で有名ですね
勘で最初に３つは検討がついていましたがそれ以外の存在しないことを証明してみました。
△ABCについて
BC上の点をDとし、ADを結ぶ。
∠BAD=a,∠ABD=b,∠DAC=eとおけば
∠ADB=pi-a-b,∠ADC=a+b,∠DAC=a,∠ACD=pi-a-b-e
以下問題文の条件満たす二等辺三角形について場合分け
条件を整理すると
1, b=pi-a-b,a+b=c-e
2, b=pi-a-b,a+b=e
3, b=pi-a-b,e=pi-a-b-e
4, a=b,a+b=pi-a-b-e
5, a=b,a+b=e
6, a=b,e=pi-a-b-e
7, a=pi-a-b,a+b=e
8, a=pi-a-b,a+b=pi-a-b-e
9, a=pi-a-b,e=pi-a-b-e
に分けられる。このうち1~3と7~9は同じことなので1~6を調べればよい
また△ABCが二等辺三角形になる条件は
AB=AC即ちb=pi-a-b-e,CA=CB即ちb=a+e,BA=BC即ちa+e=pi-a-b-e
これら３つの条件を@とすると
1,a=-eにより不適
2,b=pi-e,a=2e-pi
@を満たすものは存在しない。
3,b=e,a=pi-2e,しかしb=2eだから存在しない
4,a=b=(pi-e)/4
BA=BCのとき@を満たしこのとき、a=b=e=pi/5
5,a=b=2e
AB=ACのとき@を満たしa=b=pi/5,e=2pi/5
BC=BAのとき@を満たしa=b=pi/7,e=2pi/7
6,a+e=b+e=(pi/2)
AB=ACのとき@を満たしa=b=pi/4,e=pi/2
以上より
頂角の合計=36+90+108+(180/7)=1818/7

　　 9月22日（木） 5:58:48　　 　　25849
ｎ厨
＞1~3と7~9は同じことなので1~6を調べればよい
言いすぎました。結果的に1~3と7~9は同じになりました。
　　 9月22日（木） 6:09:31　　 　　25850
長野　美光
#25840
ん？　なんでしょう？
　
はままつ　　 9月22日（木） 10:34:54　　 HomePage:ヨッシーの八方美人　　25851
kasama
おはようございます。

答えは整数と思ってやってましたが、どうもうまくいきません(^_^;。でも三角形の分割パターンを考えて、コツコツ方程式でやるほどの元気もなく(v_v;)．．．
で、プログラムで数値計算して、得た値を適当に有理化して答えに辿り着きました。あぁ疲れた〜
出先　　 9月22日（木） 11:10:41　　 　　25852
uchinyan
はい、こんにちは。上半期の締めの時期で何かと忙しく、トイレの個室の中(汚い話で申し訳ない)で暗算で解きました。
あまり解法らしいものはなく、勘と、後はしらみつぶしでした。
問題を見て、すぐに、36度、90度、108度に気付きました。
108度は、ちょっと前の算チャレでの正五角形が頭をよぎり、「あぁ、そうだよな。」という感じでした。
これで一回認証してアウト。問題は、180/7度でした。ここからが、個室の中での格闘です (^^;
仕方ないので、二等辺三角形の頂角を分ける場合と底角を分ける場合とに分類し、
できた二つの三角形の二つの角が等しい場合を調べ上げたところ、180/7度に思い至り、
「あー、なるほどぉ。」という感じでした。
後は、条件を満たす場合がないので、結局、36 + 90 + 108 + 180/7 = 1818/7 度。
何かうまい解法があるのかな？　後で、掲示板を読んで勉強します。
ネコの住む家　　 9月22日（木） 11:34:57　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25853
uchinyan
取り敢えず、掲示板読みました。少なくとも掲示板の書き込みの範囲では、あまりうまい方法はないようですね。
なお、私も含め、図にある36度を含め三つまでは勘で分かった、という人が多いようですが、
その気付くものが、言い換えればなかなか気付かなかったものが、人によって違うのは面白いと思いました。
なお、180/7 度が敷き詰め問題で有名(#25849)というのは始めて知りました。さすが、よく勉強していらっしゃるなぁ、と感心。
ネコの住む家　　 9月22日（木） 12:29:16　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25854
ハラギャーテイ
人がやったのを参考に正解に導けました。

9月10月は連休が多いので遊びまくります。
北九州　　 9月22日（木） 12:55:06　　 HomePage:信号処理に挑戦　　25855
uchinyan
ｎ厨さんへ：
＞一辺aの正四面体のそれぞれの頂点を中心とする半径aの球をかくとき,
＞それら4つの球の共通な部分の体積を求めよ。
仕事の合間に、何となく考えてみましたが、立体図形の座標を正四面体の中心を原点にして、正四面体の一つの頂点をz軸上に置き、
z軸に垂直な平面での断面図の面積を求めて z で積分すればできる「ハズ」です。
「ハズ」と書いたのは、そうやったら、ものすごい積分になり、沈没しました (^^;
ただ、ナイーブなこの方法では、少なくとも、三角関数の逆関数が出てきますね。
東大実戦模試の問題だとすると、何か対称性をうまく使った方法を考えつかないと、とても、制限時間内には解けそうにないです。
感じとしては、スモークマンさんの2次元の解の3次元版だろうと思いますが、
正四面体の頂点、辺のあたりの形状が微妙で、うまく立体を想像できず、対称性を使いきるのが難しいです。
ネコの住む家　　 9月22日（木） 18:30:54　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25856
吉川　マサル
#25856
　私も同様にしてみましたが、まったく同じように撃沈しました。昨年の東大の６の問題のように対称性を利用して楽にできるのでは？という感はやはりあるのですが、uchiyanさんのおっしゃる通り、辺あたりの体積を出すのが難しいですよね...ううむ。
PowerBook G4　　 9月22日（木） 22:08:01　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25857
ｎ厨
#25856-25857　ありがとうございます
>uchinyanさん、吉川マサルさん
えぇ、その方法でやると球欠部分(辺の部分)を求めることになります。
しかし積分計算の途中で有名角が出なくてarc(〜)でめちゃめちゃに出そうかとしましたが断念しました。
　　 9月22日（木） 23:38:52　　 　　25858
御節介男
#25840
多分、　　数学の部屋の　図形問題シリーズ　二等辺三角形の分割における
　ヨッシ-さんの回答のことでしょう
　　 9月23日（金） 0:13:30　　 　　25859
どっかに
#25859
Exactly, you are correct.
　　 9月23日（金） 11:44:29　　 　　25860
ちず
まさか、分数の回答になるとは・・・。
　　 9月24日（土） 14:59:48　　 　　25861
まるケン
今週＝４６９回？
　　 9月24日（土） 15:37:27　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　25862
吉川　マサル
#25862
　ご指摘ありがとうございましたー。たった今、訂正いたしました。m(__)m
PowerBook G4　　 9月24日（土） 20:46:54　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25863
スモークマン
やっと入れた。
最後に見つけたのが108°のやつ・・・
超角を通る線分でできるのは直角二等辺三角形だけだという先入観あり、半ば諦めてたんですが、粘ってよかった〜
金光＠岡山　　 9月24日（土） 21:46:40　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　25864
姉小路
こん＊＊は、お久しぶりです、姉小路です。
分数なんて……、分数なんて……orz
時間がかかってしまいました。
ブランクの長さを感じます。
であであ。
　　 9月24日（土） 22:18:55　　 　　25865
はくｘ
久しぶりにやりました。
正解者だけが入れるシステムっていい感じです。
　　 9月25日（日） 0:11:40　　 　　25866
uchinyan
ｎ厨さん、マサルさんへ：
ｎ厨さんの問題
＞一辺aの正四面体のそれぞれの頂点を中心とする半径aの球をかくとき,
＞それら4つの球の共通な部分の体積を求めよ。
ですが、連休でまとまった時間が取れたので再考してみました。自信はないのですが、
V/(a^3) = (32 - 81c)π/12 + sqrt(2)/4
ただし、c は、cos(cπ) = 1/3, 0< cπ < π/2 を満たすもの。
という結果が得られました。
c という変なものが入っているので、間違っている可能性大ですが．．．
ただ、実は、cπ は、正四面体の二つの面がなす角度です。その意味では、ひょっとして．．．？ ^^;
ちなみに、正解は、いくつなのでしょうか？
解法は、図を描かないと、いや、図を描いてもなかなか難しいのですが、ポイントだけ。
正四面体の頂点を A, B, C, D とします。なお、AB = a = 1 としておきます。
まず、A 及び B を中心とする球の共通部分の体積を求めます。これは、容易な積分で、V1 = 5π/12 になります。
そして、今求めた領域のうち、さらに、平面ABC と 平面ABD に囲まれた部分の体積を求めます。
これは、角度の比から、V2 = V1 * cπ/2π = 5cπ/24 です。
次に、A を中心にした球のうち、平面ABC、平面ABD、平面ACD で囲まれた部分の体積を求めます。
これは、z軸に垂直な平面で切って、とやると沈没しますが、極座標をうまく使うと容易にできて、V3 = (3c - 1)π/3 になります。
(もっとも、ここの積分は、多重積分を使わないと説明しづらいので、高校レベルでは厳しいかな。でも、東大を受けるくらいの子なら．．．)
さて、ここで「う〜む」と考えると、面倒な辺CDの回りを含む部分 V4 は、V2 と V3 で表されるように思われます。
実は、ここらがちょっと自信がないです (^^; が、多分．．．
正確には、正四面体の中心を O として、V2 を平面OCD で切って半分にした立体と、正四面体の体積 v = sqrt(2)/12 を考えると、
V4 = 1/2 * (V2 - v) - 2/3 * (V3 - v) = 1/2 * V2 - 2/3 * V3 + 1/6 * v
この根拠は、平面OCD などの中心 O と各辺を通る六つの平面が、正四面体を、したがって、求める立体を 1/4 にするということですね。
これを使うと、対称性より、求める体積 V は、a = 1 として、
V = 4 * 3 * V4 + v = 6 * V2 - 8 * V3 + 3 * v = 6 * 5cπ/24 - 8 * (3c - 1)π/3 + 3 * sqrt(2)/12 = (32 - 81c)π/12 + sqrt(2)/4
なお、V2、V3 で積分を使っていますが、この間の球面三角形の面積の期待値のときに使った球面上の幾何学の定理・公式を使うと、
積分なしで、それこそ算数っぽく、求められます。
もちろん、球面上の幾何学は高校でも習わないので、考え方は算数でも、実際には大学レベルになってしまいますが。
ネコの住む家　　 9月25日（日） 16:02:44　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25867