吉川　マサル
　出社直前（１０時から会議なので..）なので手短かに書かせていただきます。m(__)m

　私の想定していた答案は、「６０通り」で、これは生徒の友人関係を図（グラフ）で表したときに、生徒を点、友人関係を点と点を結ぶ辺で表すとすると、それが正１２面体になるというものでした。
　「他のパターンはないか」というのは出題前から懸念としてはあって、いろいろと複雑なパターンを考えていたのですが、間抜けなことにそのときには気づきませんでした。で、朝になってシャワーを浴びながら、いくつかのパターンが存在することに気づいて青ざめた、というわけです。私が風呂で思いついたパターンは、

・正１０角柱のパターン
・ｎ角柱で、側面に（あみだくじ状に）横棒が入ったパターン

の２パターンです。これらの場合も、題意を満たす友人関係ということになります。今となっては「何でこんなのに気づかなかったんだろう」と後悔することしきりです....。

　風呂で思いついただけという状態ですから他にもパターンがあるかも知れませんし、今日は仕事（と私事）の関係でここに次に書き込みできるのが夕方、場合によっては夜になってしまう可能性があるので、思いきって正解者掲示板を解放するという措置にいたしました。

　今回、ご迷惑をおかけした方々、特に朝まで考えてくださった方々には大変なご迷惑をおかけしました。本当に申し訳ありませんでした。
Safari　　 4月17日（木） 9:08:07　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　18419
nobu
風邪をひいて頭がぼんやりしていましたが、なんとか解こうと１時までがんばってみました。関節痛で最悪です。

私は凸２０角形の各頂点から対角線が１本ずつ引かれる図を作り、各頂点を１回ずつ通る経路の数を考えようとしました。しかしパターンが多くてこれらの和を考えるのは至難の業だと、思っていたところです。
２２になったり、６０になったり・・・

対角線を引くパターンの数をかぞえるだけでも大変そうです。
　　 4月17日（木） 9:30:28　　 MAIL:nobu-j@spacelan.ne.jp 　　18420
中村明海
グラフは無数に

２０人を友達順に正２０角形に並べてみると、
あと、１０組の対角線に友達関係が存在することになって、
その選び方は無数に（ホントは有限だが）あります。
そして、その対角線の選び方で、経路の数はさまざまになります。

簡単のために６人の場合の６角形を書いてみると、
対角線の引き方は２とおりあって、
経路の数はそれぞれ、１２および６になることが、
確かめられます。
（参考図）
http://www3.sansu.org/tables/san0417.gif
Muroran　　 4月17日（木） 10:19:38　　 MAIL:nak@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　18422
M.Hossie
　こんにちは、今回は超難問ですね。
　ぼくも問題を最初見て、nobu さんと同様に２０角形を考えて、その一筆書き (?) でもとの頂点に戻るような考えを持ちましたが、こんなのとても計算する気になれない！　マサルさんのように正１２面体なんて３次元的な考えなどとてもとてもパッと思いつかないです。
　てな訳で、今回は中村さんを始め、皆様有識者の方々の書き込みを見て勉強する側に回りたいと思います。みなさんじゃんじゃん書き込みよろしくね！
東京郊外　　 4月17日（木） 10:58:15　　 　　18423
トトロ＠Ｎ
私は正20角形に中心を通る対角線を10本引いて考えていました。
正方形、正六角形、正八角形と考えていくと、頂点の数が４の倍数のときと、そうでないときでパターンが異なるようです。
正20角形では22通りになりましたが、これがあっているがどうが自信はありません。
たぶん、正ｎ角形でｎが４の倍数のときには、ｎ＋２　になるようです。
兵庫県明石市　　 4月17日（木） 11:29:36　　 MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp 　　18424
むらかみ
#18423
僕も問題を見て正２０角形を考えたのですが、計算できないため、
正４角形・正６角形・正８角形・正１０角形・正１２角形…と順に考えていきました。
駄菓子菓子、ちっとも規則性が見つからないので、１時ごろ、禁断の正２０角形に手を染めることに。
・・・大変でした。
２２通りまでは確認できましたが、２４通りの方がちょっとした規則性につながるので、
２通り見落としているのかもしれません。

ちなみに問題文で「このクラスで」と限定しているので、
その時点で友達関係は固定されているのだと判断し、対角線の選び方は考える必要がないとしました。
また、マサルさんのように立体にするのではなく、
平面で考えた方が解きやすいとも思うのですが、いかがでしょうか。

〜〜こっからはどうでもいい話〜〜
１２時直前に友達から電話がかかってきたので、
「今から算チャレ、解き終わったら電話する！」と電話を切ってそのまんま。
だってまだ解けてないから・・・。
　　 4月17日（木） 11:42:18　　 　　18425
DrK
先週の問題について、私は各桁ごとに意味を持たせているのかなと考えてしまいました。
そのため、繰上りなどを考えて、わけがわからなくなったのですが、案外簡単な解答だったのですね。
　　 4月17日（木） 12:28:54　　 MAIL:satoka@star.odn.ne.jp 　　18426
Taro
正20角形＋10本の対角線を書き出して考えたり、小さくして考えてみましたが
収拾がつかなくなりプログラムに走りました。
どうしようもなく最後はコンピューターで解かせて22通りを得ました。
何度も何度もバグに悩まされ、結局書き出して見ました。

トモエさんの出席番号を0番とし、他の生徒を1〜19番とします。
番号が隣同士(0番と19番も含める)および一の位が同じ生徒を友達とします。
以下のようなパターンが得られました。

( 1) 0 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
( 2) 0 19 18 17 16 15 14 13 12 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
( 3) 0 19 18 17 16 15 14 13 12 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 0
( 4) 0 19 18 17 16 15 14 13 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1 0
( 5) 0 19 18 17 16 15 14 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2 1 0
( 6) 0 19 18 17 16 15 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 3 2 1 0
( 7) 0 19 18 17 16 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 4 3 2 1 0
( 8) 0 19 18 17 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 5 4 3 2 1 0
( 9) 0 19 18 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7 6 5 4 3 2 1 0
(10) 0 19 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8 7 6 5 4 3 2 1 0
(11) 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 0
(12) 0 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
(13) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 0
(14) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 0
(15) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 19 0
(16) 0 1 2 3 4 5 6 7 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 18 19 0
(17) 0 1 2 3 4 5 6 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 17 18 19 0
(18) 0 1 2 3 4 5 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 16 17 18 19 0
(19) 0 1 2 3 4 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 15 16 17 18 19 0
(20) 0 1 2 3 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 14 15 16 17 18 19 0
(21) 0 1 2 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 13 14 15 16 17 18 19 0
(22) 0 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 12 13 14 15 16 17 18 19 0
新しいPC＆回線　　 4月17日（木） 12:40:13　　 MAIL:tarox@nifty.com HomePage:もうひとつの理科チャレ２　　18427
たかまつ　ろろ
#18425
>ちなみに問題文で「このクラスで」と限定しているので、
>その時点で友達関係は固定されているのだと判断し、対角線の選び方は考え>る必要がないとしました
と私も考え
・・・・・・・・�◆　　　　　´Α　　　　　´�　　　　　　��　　　　　��
・・・・・・・／ｌ＼　　　　／ｌ＼　　　　／ｌ＼　　　　／ｌ＼　　　　／ｌ＼　
�粥臭　　。譟　´ぁ臭ァ。譟´─臭�　ｌ　��―��　　ｌ　�亜臭院。譟　´粥臭�
・・・・・・・＼ｌ／　　　　＼ｌ／　　　　＼ｌ／　　　　＼ｌ／　　　　＼ｌ／
・・・・・・・・��　　　　　　�А　　　　　´�　　　　　　��　　　　　��
４人１グループとして１グループの通過は２通り
２＾５＝３２通り
逆順を考えて
３２ｘ２＝６４通りと考えました。
１つの答えに入るでしょうか？

　　 4月17日（木） 12:40:46　　 　　18428
高橋　道広
正20角形で考えましたが感覚的に結び方によって答えが違うなあ　と
思っていました。

その次に考えたのが　正方形+正六角形+正方形+正六角形となっている
結びかたでした。

正方形で4人が条件を満たすようにできますよね。正六角形で6人が条件を
満たすようにできますよね。
その正方形の向かいにある２人のつながりを切って　
正六角形の向かいにある２人のつながりを切って　先ほどの正方形の人と
つないで…
炭素の結合の結合のように考えてみてください　ベンゼン環のように
正方形+正六角形+正方形+正六角形が輪になるようにつないで考えました。（いってることわかりますか？？）
すると　なか　さんが書かれたように　正六角形の結び方によって
場合の数が違うことを発見して　これは　答えが１通りに
ならないなあ…

じゃあ　正方形が５つベンゼン環になったらどうだろう　　3^5=273通りに
なるなあ…

そこで私のとった手段は…
ええいっっっ！！　　　ポイッ　部屋の隅に投げちゃいました。(*^_^*)
（そのうち訂正が出るだろう…）
ということで　予想通りでした(*^_^*)　
北の隠れ家　　 4月17日（木） 12:41:29　　 MAIL:micci@sansu.org HomePage:みっちの隠れ家　　18429
Taro
#18427
とんでもないことが判明しました。
10本の対角線は真向かい同士でなくても引けますね。
これを考えるとさらに解答は増えそうです(汗)
新しいPC＆回線　　 4月17日（木） 12:44:03　　 MAIL:tarox@nifty.com HomePage:もうひとつの理科チャレ２　　18430
高橋　道広
3^5は　2^5=32の間違いです。しかも逆順があるから64通りで　
たかまつろろ　さんと同じ考え方です。
訂正　します。したの記事を書いてるうちに　先にUPされました(^。^)
北の隠れ家　　 4月17日（木） 12:44:05　　 MAIL:micci@sansu.org HomePage:みっちの隠れ家　　18431
Taro
#18429
3＾5＝243のような・・・・
新しいPC＆回線　　 4月17日（木） 12:44:37　　 MAIL:tarox@nifty.com HomePage:もうひとつの理科チャレ２　　18432
高橋　道広
そうそう　TaroさんのHP　もうひとつの理科チャレhttp://homepage1.nifty.com/t/
復活してますよ。　みなさん　参加しましょう＼(^o^)／
北の隠れ家　　 4月17日（木） 12:47:41　　 MAIL:micci@sansu.org HomePage:みっちの隠れ家　　18433
高橋　道広
Taroさん　そのとおりです
でもその計算式事態が間違ってます。
たかまつさん　が正しい。（恥）
北の隠れ家　　 4月17日（木） 12:51:16　　 MAIL:micci@sansu.org HomePage:みっちの隠れ家　　18434
まるケン
１０角柱で２４通り
２０角形＋真向かいへの対角線で２４通り（０−１０、１−１１、、、）
２０角形＋２つ飛ばしの対角線で３６通り（０−３、２−５、４−７、、、）
正１２面体で６０通り
たかまつ　ろろさんので６４通り（確認しました）
・・・
最大はいくつなんだ！！
　　 4月17日（木） 13:10:44　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　18435
吉川　マサル
吉川＠仕事中です。

　んと、私の意図通りに（正２０面体を連想しないと解けないように）するにはどんな条件を加えれば良いでしょうか....？

　いえ、こんなミスしといて厚顔はなはだしいですが、問題のアイデア自体は気に入っていて、なんとかちゃんとした問題にならないかと思っていまして...。
Safari　　 4月17日（木） 13:45:50　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　18436
ちば けいすけ
#18436
「どの4人を選んでも、『友達の輪』が作れない」
というのはどうでしょうか。
　　 4月17日（木） 13:59:09　　 　　18437
Miki Sugimoto
20人の児童に、０，１，２，……，18，19 と番号をつける。
「０と１が友達であること」を「０−１」と書くことにする。
　　 ０　　　　１　　　　２　　　　３　　　　　　８　　　　９
　 ／｜＼　　／｜＼　　／｜＼　　／｜＼　……　／｜＼　　／｜＼
　｜ ｜ ｜　｜ ｜ ｜　｜ ｜ ｜　｜ ｜ ｜　　　｜ ｜ ｜　｜ ｜ ｜
　10 11 12　11 12 13　12 13 14　13 14 15　　　18 19 10　19 10 11
と決めると、第２段落にある「３人！」の題意を満たす。

このときに限ったプログラムで、すべての場合を求めると、
以下の24通りになりました：
0　10　9　19　8　18　7　17　6　16　5　15　4　14　3　13　2　12　1　11　0
0　10　9　11　1　13　3　15　5　17　7　19　8　18　6　16　4　14　2　12　0
0　10　8　18　7　19　9　11　1　13　3　15　5　17　6　16　4　14　2　12　0
0　10　8　18　6　16　5　17　7　19　9　11　1　13　3　15　4　14　2　12　0
0　10　8　18　6　16　4　14　3　15　5　17　7　19　9　11　1　13　2　12　0
0　10　8　18　6　16　4　14　2　12　1　13　3　15　5　17　7　19　9　11　0
0　10　8　18　6　16　4　14　2　13　3　15　5　17　7　19　9　11　1　12　0
0　10　8　18　6　16　4　15　5　17　7　19　9　11　1　13　3　14　2　12　0
0　10　8　18　6　17　7　19　9　11　1　13　3　15　5　16　4　14　2　12　0
0　10　8　19　9　11　1　13　3　15　5　17　7　18　6　16　4　14　2　12　0
0　11　1　12　2　13　3　14　4　15　5　16　6　17　7　18　8　19　9　10　0
0　11　1　13　3　15　5　17　7　19　9　10　8　18　6　16　4　14　2　12　0
0　11　9　19　7　17　5　15　3　13　1　12　2　14　4　16　6　18　8　10　0
0　11　9　10　8　19　7　18　6　17　5　16　4　15　3　14　2　13　1　12　0
0　12　2　13　1　11　9　19　7　17　5　15　3　14　4　16　6　18　8　10　0
0　12　2　14　4　15　3　13　1　11　9　19　7　17　5　16　6　18　8　10　0
0　12　2　14　4　16　6　17　5　15　3　13　1　11　9　19　7　18　8　10　0
0　12　2　14　4　16　6　18　8　19　7　17　5　15　3　13　1　11　9　10　0
0　12　2　14　4　16　6　18　8　10　9　19　7　17　5　15　3　13　1　11　0
0　12　2　14　4　16　6　18　7　17　5　15　3　13　1　11　9　19　8　10　0
0　12　2　14　4　16　5　15　3　13　1　11　9　19　7　17　6　18　8　10　0
0　12　2　14　3　13　1　11　9　19　7　17　5　15　4　16　6　18　8　10　0
0　12　1　11　9　19　7　17　5　15　3　13　2　14　4　16　6　18　8　10　0
0　12　1　13　2　14　3　15　4　16　5　17　6　18　7　19　8　10　9　11　0

※　ただし、これは「友達関係」が１つに固定されているときの
　「条件付き場合の数」(?) です。

64通りですか？！　プログラムを見直してみます。(ぼそっ)
　　 4月17日（木） 15:04:07　　 MAIL:sgmiki@sea.plala.or.jp HomePage:杉本記念９、近日開催　　18438
ずぱい
２０人の児童に１〜２０までの番号をつける。
１、１１、２０以外の児童の友達は前後と、自分との合計が２２になる人で
１は２、２０、１１　１１は１，１０，１２　２０は１，２，１９
が友達として、１をトモエさんとすると６通りだと思います。
　　 4月17日（木） 16:23:49　　 　　18439
ずぱい
18439の関係を図に書くと、１０角柱を少し変形したような形になるので、
これを利用すると、いろんなパターンができる気が・・・。

　　 4月17日（木） 16:52:04　　 　　18440
長野　美光
すみません。
ちょっとやってみたかっただけです。＞＞フォームからの解答

ところで、ＴＯＰの正解者掲示板へのリンクが、 room2 が抜けているため
つながっていません＞＞マサルさま
新しんぱら　　 4月17日（木） 17:07:00　　 HomePage:ヨッシーの算数・数学の部屋　　18441
中村明海
#18435 まるケンさん

＞最大はいくつなんだ！！
６４は私も気づいてました。算盤玉５個の形です。

で、少し調べたらもっと経路が多い形がありました。

出席番号０〜１９のとなりどうしが友達。
また出席番号の十位が等しくかつ一位が５差なら友達。（f.g. 13-18)
とすると、７２通りです。でもきっとまだ最多ではない。

(1) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19
(2) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,18,17,16,15,14,19
(3) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,17,16,15,14,13,18,19
(4) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,16,15,14,13,12,17,18,19
(5) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,15,16,11,12,17,18,13,14,19
(6) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,15,14,13,12,11,16,17,18,19
(7) 0,1,2,3,8,7,6,5,4,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19
(8) 0,1,2,3,8,7,6,5,4,9,10,11,12,13,18,17,16,15,14,19
(9) 0,1,2,3,8,7,6,5,4,9,10,11,12,17,16,15,14,13,18,19
(10) 0,1,2,3,8,7,6,5,4,9,10,11,16,15,14,13,12,17,18,19
(11) 0,1,2,3,8,7,6,5,4,9,10,15,16,11,12,17,18,13,14,19
(12) 0,1,2,3,8,7,6,5,4,9,10,15,14,13,12,11,16,17,18,19
(13) 0,1,2,7,6,5,4,3,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19
(14) 0,1,2,7,6,5,4,3,8,9,10,11,12,13,18,17,16,15,14,19
(15) 0,1,2,7,6,5,4,3,8,9,10,11,12,17,16,15,14,13,18,19
(16) 0,1,2,7,6,5,4,3,8,9,10,11,16,15,14,13,12,17,18,19
(17) 0,1,2,7,6,5,4,3,8,9,10,15,16,11,12,17,18,13,14,19
(18) 0,1,2,7,6,5,4,3,8,9,10,15,14,13,12,11,16,17,18,19
(19) 0,1,6,5,4,3,2,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19
(20) 0,1,6,5,4,3,2,7,8,9,10,11,12,13,18,17,16,15,14,19
(21) 0,1,6,5,4,3,2,7,8,9,10,11,12,17,16,15,14,13,18,19
(22) 0,1,6,5,4,3,2,7,8,9,10,11,16,15,14,13,12,17,18,19
(23) 0,1,6,5,4,3,2,7,8,9,10,15,16,11,12,17,18,13,14,19
(24) 0,1,6,5,4,3,2,7,8,9,10,15,14,13,12,11,16,17,18,19
(25) 0,5,6,1,2,7,8,3,4,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19
(26) 0,5,6,1,2,7,8,3,4,9,10,11,12,13,18,17,16,15,14,19
(27) 0,5,6,1,2,7,8,3,4,9,10,11,12,17,16,15,14,13,18,19
(28) 0,5,6,1,2,7,8,3,4,9,10,11,16,15,14,13,12,17,18,19
(29) 0,5,6,1,2,7,8,3,4,9,10,15,16,11,12,17,18,13,14,19
(30) 0,5,6,1,2,7,8,3,4,9,10,15,14,13,12,11,16,17,18,19
(31) 0,5,4,3,2,1,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19
(32) 0,5,4,3,2,1,6,7,8,9,10,11,12,13,18,17,16,15,14,19
(33) 0,5,4,3,2,1,6,7,8,9,10,11,12,17,16,15,14,13,18,19
(34) 0,5,4,3,2,1,6,7,8,9,10,11,16,15,14,13,12,17,18,19
(35) 0,5,4,3,2,1,6,7,8,9,10,15,16,11,12,17,18,13,14,19
(36) 0,5,4,3,2,1,6,7,8,9,10,15,14,13,12,11,16,17,18,19
Muroran　　 4月17日（木） 17:26:03　　 MAIL:nak@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　18442
まるケン
#18442
私もちょっと探してみたらすごいの見つけました。
出席番号０〜１９のとなりどうしが友達。
４人と６人のグループを２つずつ作り、４人のグループは２番違いどうしが友達、６人のグループは３番違いどうしが友達。
１２８通りって出ました。
　　 4月17日（木） 21:19:03　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　18443
まるケン
#18443
言葉だけで表すのは難しそうなので、、、、

　　　　　　　○
　　　　　　／｜＼
　　　　　○　｜　○
　　　　／　＼｜／　＼
　　　○　　　○　　　○
　　／　＼　　　　　／　＼
　○　　　○　　　○　　　○
　｜＼　／｜　　　｜＼　／｜
　｜　×　｜　　　｜　×　｜
　｜／　＼｜　　　｜／　＼｜
　○　　　○　　　○　　　○
　　＼　／　　　　　＼　／
　　　○　　　○　　　○
　　　　＼　／｜＼　／
　　　　　○　｜　○
　　　　　　＼｜／
　　　　　　　○
　　 4月17日（木） 21:48:35　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　18444
M.Hossie
　夜も更けて参りましたが、有識者の皆様の書き込み、勉強になります。しかしなんだかすごいことになっちゃってますね。１２８通りより多いパターンもきっと出ることでしょう。要するに、この問題の答えは「何でもアリ」ということなんでしょうね。

「この問題が教えてくれた教訓」３人と言わず、クラスのみんなと仲良くしましょう。
東京郊外　　 4月17日（木） 22:15:26　　 　　18445
ＪＵＮ
まず６人のグループを考えるとその６人をたどるたどり方は、以下の４通り
　　　　１→２→３→４→５→６→
　　　　１→２→５→４→３→６→
　　　　１→４→３→２→５→６→
　　　　１→４→５→２→３→６→
次に４人のグループを考えるとその４人をたどるたどり方は以下の２通り
　　　　１→２→３→４→
　　　　１→３→２→４→
６人グループと４人グループが２組づつあると考えるとそのたどり方は順逆併せて
　　　　４＊４＊２＊２＊２＝１２８通り
となりました。
　　 4月17日（木） 22:16:18　　 MAIL:mochida@pop16.odn.ne.jp 　　18446
中村明海
#18444 まるケンさんの図、清書しました。

http://www3.sansu.org/tables/san0417_128.gif
かどの通り方が、２と４なので、２×４×２×４＝６４
往復で確かに１２８とおりになりますね。
室蘭市　　 4月17日（木） 22:51:03　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　18447
ごんごんま
出席番号１-20の人が円になって並び、隣同士と10違いの人どうしが友だちだとして数えてみました。
基本パターン（０次とします）１→２→・・・→２０→１に対して、
１次の捻れパターンを１→・・・→１０→２０→・・・→１１→１とします。
（図に書くと円盤を1-11,20-10の所で捻ったように見えます）
すると０〜４次までの捻れパターンが考えられ、逆順を別に考えるとそれぞれ
０次：２通り、１次：２０通り、２次：７０通り、３次：６６通り、４次：５０通りで
合計２０８通りとなりました。数え間違っていなければ一番多い。かな？　
千葉　　 4月17日（木） 22:58:27　　 MAIL:hhmori@bronze.ocn.ne.jp HomePage:ななほし天道　　18448
まるケン
#18437

「どの4人を選んでも、『友達の輪』が作れない」 けれど、
１２面体ではないパターンもありそうです。
２０角形の中に対角線を引くとき、５つ離れたところどうしを結んでみました。
この場合は、５４通りの答えが出ます。

intfriends[M][N] = {
{19, 1, 5},/* 0 */
{ 0, 2,16},/* 1 */
{ 1, 3, 7},/* 2 */
{ 2, 4,18},/* 3 */
{ 3, 5, 9},/* 4 */
{ 4, 6, 0},/* 5 */
{ 5, 7,11},/* 6 */
{ 6, 8, 2},/* 7 */
{ 7, 9,13},/* 8 */
{ 8,10, 4},/* 9 */
{ 9,11,15},/* 10 */
{10,12, 6},/* 11 */
{11,13,17},/* 12 */
{12,14, 9},/* 13 */
{13,15,19},/* 14 */
{14,16,10},/* 15 */
{15,17, 1},/* 16 */
{16,18,12},/* 17 */
{17,19, 3},/* 18 */
{18, 0,14}/* 19 */
};
　　 4月17日（木） 23:13:34　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　18450
中村明海
#18448　ごんごんまさん

この形は、
#18427　に taro さんが示されたとおり２２通りだと思いますよ。
２次の捻れって実現できるのでしょうか。
室蘭市　　 4月17日（木） 23:22:16　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　18451
ごんごんま
#18451 中村さんのおっしゃる通りです。２次以上は勘違いでした。相変わらず早とちりの多い
ごんごんまでした（汗）。
千葉　　 4月17日（木） 23:25:41　　 MAIL:hhmori@bronze.ocn.ne.jp HomePage:ななほし天道　　18452
吉川　マサル
う〜ん、今解答メイルを見ると、２２通りって答えも６４通りって答えも１２８通りって答えも何通かあります。６０通りってのはすごく少ないですが....。どうやら私のグラフの描き方が一番小数派のようです....。
Safari　　 4月18日（金） 0:01:12　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　18453
トトロ＠Ｎ
いやぁ〜、仕事から帰ってみると随分たくさんの書き込みがありますね。
とりあえず読ませていただきました。私の22通りも答えの１つのようで
安心しました。むしろいつもより多い書き込みでにぎわっていますね。
兵庫県明石市　　 4月18日（金） 0:02:33　　 MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp 　　18454
トトロ＠Ｎ
#18453
マサルさん、22通り以外にもたくさん送ってごめんなさい。
自分でも何回送ったがわかりません(^^;
兵庫県明石市　　 4月18日（金） 0:07:15　　 MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp 　　18455
中村明海
マサルさんの意図に沿うには、こうかなあ？

「あなたの友達の友達どうしは友達ですか？」と聞いたところ、
全員が、「はい、どのふたりの友達についても、そのような友達
の友達が存在します。」と答えました。
室蘭市　　 4月18日（金） 0:07:48　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　18456
まるケン
#18453
私も実は、少数派の１人。
送ったメールは、正１２面体の６０通りです。

でも、正１２面体だとして、算数で６０通りを出すのって、どうやるんだろう、、、

#18456
これなら、ループは必ず５角形になりそうですね。
　　 4月18日（金） 2:18:35　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　18457
おりくん
球に3本の足が生えたような物体が20個ある。全ての足は他の物体の足と繋がっていて、しかもある物体ともう１つの物体との間に2本以上繋がることはない。この条件で出来た図形の、ある球を始点として他の球を全て通るように一筆書きできるのは何通りあるのか判れば…なんて考えてみようとしたんですが、面倒くさくなって放り出してしまいました(^^;)。
　　 4月18日（金） 4:14:47　　 　　18458
高橋　道広
#18447　なか　さんの図が私が＃18429で言ってた図です。
やっぱり図の方が説得力あるなあ…
北の隠れ家　　 4月18日（金） 6:49:13　　 MAIL:micci@sansu.org HomePage:みっちの隠れ家　　18459
吉川　マサル
#18457
　おおっ。(^^;;　その通りでして、正１２面体ということになっても、６０通りって出すのは結構大変なんですよ。最初は「正１２面体があって....」という単純な問題のつもりだったんです。それでも十分難しい問題だったんですが....スミマセン。m(__)m
Safari　　 4月18日（金） 9:05:48　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　18460
なんちゃん
#18439
私も６通りになりました。最初に書いた図が６通りだったので、それ以上の可能性は追求しませんでした。
　　 4月18日（金） 9:08:19　　 　　18461
まるケン
いろいろと考えていましたが、角柱、角柱＋アミダ、正１２面体など、どんなパターンでも、トモエさんからスタートしてトモエさんに戻るのだから、すべてのパターンは２０角形＋１０本の対角線のパターンに置き換えることができます。

という観点から、プログラムで、すべてのパターンを作り出し、そのパターンについてのルートをすべて計算させてみているところですが、結果はまだ当分出そうにありません。

最大の答えがわかりましたら、また書き込みにきたいと思います。
ちなみに、２２通りや２４通り、６０通りなどのほかにも、６、８、１０、、、、５０、５２、５４、５６通りまでは偶数の答えが出るようなパターンを確認しました。

　　 4月18日（金） 21:01:34　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　18462
中村明海
#18462　それはそうなのですが

対角線の引き方が、20!/10!/2^10 = 654,729,075 （６億）とおりもありますからねえ。
私のマシンでは射程距離にないので、調査を断念しました。でも、結果はみたいので、
よろしくお願いします。

室蘭市　　 4月18日（金） 21:13:10　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　18463
清川　育男
#18462
どんなパターンでも、トモエさんからスタートしてトモエさんに戻るのだから、すべてのパターンは２０角形＋１０本の対角線のパターンに置き換えることができます。
花びらが１０個あるひまわりのような図形（星型）をイメージして花びらの元から、
１，２，３，，，，２０と番号を付ける。花びらの頂点が偶数番となるように。
残り１０個の対角線を、３-５，４-６，７-９，８-１０，１１-１３，
１２-１４，１５-１７，１６-１８，１９-１，２０-２。
この場合どの人も３人の友達いるようにすることが出来る。
したがって、１９！通りも可能ではないでしょうか？。
広島市　　 4月18日（金） 23:48:16　　 MAIL:kiyo19@mxr.mesh.ne.jp 　　18464
kasama
今回は本当に苦労しました。毎回このような問題が出題されると、精魂尽き果てしまいそうです。いろんな答えがあるようで、どれも正解と思いますが、私の場合、皆さんと同じように友達の関係を正１２面体と捉えて、以下のような無向グラフで表現し、一筆書きパスが何通り存在するかを調べることで順列を求めました。
＋-----------------------＋
｜ ＋------＋ ｜
｜ ｜ ｜ ｜
○1-----○6 ○11-----○16
｜ ｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜ ｜
○2-----○7 ○12-----○17
｜ ｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜ ｜
○3-----○8 ○13-----○18
｜ ｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜ ｜
○4-----○9 ○14-----○19
｜ ｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜ ｜
○5-----○10 ○15-----○10
｜ ｜ ｜ ｜
｜ ＋------＋ ｜
＋-----------------------＋
この考えが正しいものと仮定すると、このグラフを隣接行列Ｖで表現してＶ^nを計算して、n=21,20,・・・と辿ることで、一筆書きパスが検出できます。行列計算とパスの検出はプログラムで行いました。以下に、検出したパスを記載します。プログラムは紙面に都合上記載しません（誰も見たくないと思いますが、必要なら差し上げますのでメールでお知らせ下さい）。
1 2 3 4 5 10 9 8 7 6 11 12 13 14 15 20 19 18 17 16 1
1 2 3 4 5 20 15 10 9 8 7 6 11 12 13 14 19 18 17 16 1
1 2 3 4 5 20 19 14 15 10 9 8 7 6 11 12 13 18 17 16 1
1 2 3 4 5 20 19 18 13 14 15 10 9 8 7 6 11 12 17 16 1
1 2 3 4 5 20 19 18 17 12 13 14 15 10 9 8 7 6 11 16 1
1 2 3 4 5 20 19 18 17 16 11 12 13 14 15 10 9 8 7 6 1
1 2 3 4 9 8 7 6 11 12 13 14 15 10 5 20 19 18 17 16 1
1 2 3 8 7 6 11 12 13 14 15 10 9 4 5 20 19 18 17 16 1
1 2 7 6 11 12 13 14 15 10 9 8 3 4 5 20 19 18 17 16 1
1 2 7 8 3 4 9 10 5 20 15 14 19 18 13 12 17 16 11 6 1
1 6 7 2 3 8 9 4 5 10 15 20 19 14 13 18 17 12 11 16 1
1 6 7 8 9 10 15 14 13 12 11 16 17 18 19 20 5 4 3 2 1
1 6 11 12 13 14 15 10 9 8 7 2 3 4 5 20 19 18 17 16 1
1 6 11 16 17 12 13 18 19 14 15 20 5 10 9 4 3 8 7 2 1
1 16 11 6 7 8 9 10 15 14 13 12 17 18 19 20 5 4 3 2 1
1 16 11 12 17 18 13 14 19 20 15 10 5 4 9 8 3 2 7 6 1
1 16 17 12 11 6 7 8 9 10 15 14 13 18 19 20 5 4 3 2 1
1 16 17 18 13 12 11 6 7 8 9 10 15 14 19 20 5 4 3 2 1
1 16 17 18 19 14 13 12 11 6 7 8 9 10 15 20 5 4 3 2 1
1 16 17 18 19 20 5 4 3 2 7 8 9 10 15 14 13 12 11 6 1
1 16 17 18 19 20 5 4 3 8 9 10 15 14 13 12 11 6 7 2 1
1 16 17 18 19 20 5 4 9 10 15 14 13 12 11 6 7 8 3 2 1
1 16 17 18 19 20 5 10 15 14 13 12 11 6 7 8 9 4 3 2 1
1 16 17 18 19 20 15 14 13 12 11 6 7 8 9 10 5 4 3 2 1
和歌山　　 4月19日（土） 0:44:49　　 MAIL:kasama@s34.co.jp 　　18465
中村明海
#18564 清川さんのひまわり型は

よーくながめると、そろばん玉を５個つなげた形と同じものです。
http://www3.sansu.org/tables/san0417_64.gif

そこで、#18428 たかまつろろさんの解答などにもあるように、
一周する経路は、（往復で）６４とおりになります。
室蘭市　　 4月19日（土） 3:55:03　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　18466
清川　育男
#18466
>ちなみに問題文で「このクラスで」と限定しているので、
>その時点で友達関係は固定されているのだと判断し、
そのとうりですね。
広島市　　 4月19日（土） 7:30:45　　 MAIL:kiyo19@mxr.mesh.ne.jp 　　18467
まるケン
#18462
昨日一日回して、今朝、やっと終わりました。
やはり、最大は１２８通りでした。
なお、６〜５６の偶数、６０、６４、７２の他にも、８０、９６なんていうのもありました。

　　 4月20日（日） 12:28:12　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　18468
吉川　マサル
#18468

　す、すごい...。
Safari　　 4月21日（月） 11:50:35　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　18469
牧野隆盛
とても考えさせられる問題だったようで、、、
頭がやわらかくなりそうですｗ
　　 4月21日（月） 23:10:00　　 　　18470
栗原英治
吉川さん、算チャレに参加のみなさん、こんにちは。

今回の問題についてですが、「友達関係」によって「紹介順」の数は異なります。
まるけんさんによれば、そのパターンは多数あるようですので、「友達関係」を
明示して、そのパターンに限るべきだったと思います。

吉川さんが想定していた正12面体の場合、グラフ理論でいうハミルトン閉路の名前
のもとになった問題ですね。

一応、解答例の作成については、正12面体に限って紹介しようと考えていますが、
算数の範囲で説明するのは難しそうです。

高松　　 4月22日（火） 9:30:48　　 MAIL:Kurihara@mail.netwave.or.jp HomePage:数学の小部屋　　18471
まるケン
#18462
最大が１２８とわかったところで、プログラムをちょっと書き直し、他の全可能性をチェックしました。
その結果、なんと、６から８４までの偶数全部と、８８、９６、１１２、１２８という答えが出ました。
一応、各パターンが答えとなる組み合わせを一通りずつは保存しましたので、ご要望によっては公開します。
　　 4月22日（火） 10:27:41　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　18472
M.Hossie
今回の問題の解答例を作るのは大変かと思いますが、期待しています！＞栗原さん
東京郊外　　 4月22日（火） 22:34:36　　 　　18473