茖確�

Taro

問題文の記号が８つ並んでいるのは気のせい？

新しいPC＆回線　　 2月20日（木） 0:07:00　　 MAIL:tarox@nifty.com HomePage:もうひとつの理科チャレ２　　18077

CRYING DOLPHIN

「２回に１回以上必ず勝つ」という題意の取り方によっては、この答えは
不適切な可能性が。

幼稚園ピカチュウ組　　 2月20日（木） 0:07:55　　 MAIL:非公開(セキュリティ上) HomePage:いろいろ。算数もあったり…　　18078

Taro

平成１３年土佐塾中県外入試１型の７番の設定を思い出しました

新しいPC＆回線　　 2月20日（木） 0:09:03　　 MAIL:tarox@nifty.com HomePage:もうひとつの理科チャレ２　　18079

CRYING DOLPHIN

#18077
言われてみれば。

７回の対戦で、
×◎×◎×◎×
みたいな勝敗表は、はたして「２回に１回以上必ず勝つ」といえるかどうか…

幼稚園ピカチュウ組　　 2月20日（木） 0:09:34　　 MAIL:非公開(セキュリティ上) HomePage:いろいろ。算数もあったり…　　18080

小杉原啓

2回前の2倍と1回前を足した分ですね。
確かに8つ並んでますね。

仙台市　　 2月20日（木） 0:09:35　　 HomePage:副教科にチャレンジ！　　18081

奥入瀬

この答えでは，３勝しかしていないときも含まれますな。

　　 2月20日（木） 0:09:45　　　　18082

15KARATSOUL

「連敗しない」ジャンケンの帝王の方がよいと思います。

多分兵庫　　 2月20日（木） 0:11:28　　　　18083

吉川　マサル

#18080
　な、なるほど...。ちょっと考えます。

Mercury　　 2月20日（木） 0:12:12　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　18084

maruhagedon

風邪引いちゃいました。
頭がいつもよりぼーっとしてます。
もう寝ます。お休みなさい。

酔っぱらい天国　　 2月20日（木） 0:12:34　　 MAIL:hopes@mba.sphere.ne.jp HomePage:HOPES　　18085

圭太

確かに二回に一回に・・・。
考えなかった。（ぉ

米所～♪　　 2月20日（木） 0:14:47　　　　18086

吉川　マサル

問題文に注釈をつけ、例は７試合になるようにしました。いかがでしょうか？

Mercury　　 2月20日（木） 0:18:10　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　18087

たけちゃん

ヤッター解けた。早くできてうれしー
僕は小6なので2のとき3のときとやりました。
ふ～

　　 2月20日（木） 0:18:41　　　　18088

ばんちゃ

今は小、中学生のようなところです。よろしくお願いします。

　　 2月20日（木） 0:19:17　　　　18089

CRYING DOLPHIN

たぶん、これでいいと思います。
想定とは異なる題意の取り方もつぶせたことですし。。

幼稚園ピカチュウ組　　 2月20日（木） 0:21:48　　 MAIL:非公開(セキュリティ上) HomePage:いろいろ。算数もあったり…　　18090

kasama

あまり得意な問題ではなかったけど、頑張って解きました。

　　 2月20日（木） 0:22:59　　 MAIL:kasama@s34.co.jp 　　18091

ヌオの母

最初に出ていた例では８試合あったので、あいこのときは同じ人と続けて勝負するのかと思いました。

　　 2月20日（木） 0:25:51　　　　18092

あんみつ

最初の問題分にあった例が8回勝負であいこ1回だったので、あいこだったら同じ相手ともう1回やるんだと思いました。
んで、あいこの回数で場合わけして数えてたらかなりややこしくてうんざりしてきたところでりロードしたら例が変わってるし、、、^-^;

おうち　　 2月20日（木） 0:26:33　　　　18093

あんみつ

#18092
だぶりましたね。。。他にも同じ勘違いした方いそうですね。う～ん ^o^;

おうち　　 2月20日（木） 0:29:01　　　　18094

吉川　マサル

#18093,#18092
　う、申し訳ありません。実は最初８試合にしていて（これだと答えが３４１になる）、「これじゃあ数え上げる人は大変かな」と思って急きょ７試合にしたんです。そのときに例を直すのをうっかり忘れてしまいました。ゴメンなさい！m(__)m

Mercury　　 2月20日（木） 0:29:52　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　18095

吉川　マサル

上位の皆さんに質問なんですが、コレは有名な問題でしょうか？

　いえ、私はそれほど易問にしたつもりはなかったんですが、上位の方（特にTaroさん....）がすげーーー速いもので...。

Mercury　　 2月20日（木） 0:33:37　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　18096

kasama

簡単な再起プログラムを作って、答えが正しいことを確認しました。
public class Question341 {
private static int count = 0;
public void nextChange(int n, String s) {
if (--n == 0) {
++count;
return;
}
if (s.equals("◎")) {
nextChange(n, "×");
nextChange(n, "△");
nextChange(n, "◎");
} else if (s.equals("×")) {
nextChange(n, "◎");
} else if (s.equals("△")) {
nextChange(n, "◎");
}
}

public static void main(String args[]) {
new Question341().nextChange(7, "◎");
new Question341().nextChange(7, "×");
new Question341().nextChange(7, "△");
System.out.println("勝敗表は" + count + "通りです");
}
}

　　 2月20日（木） 0:35:29　　 MAIL:kasama@s34.co.jp 　　18097

あんみつ

#18095
なるほどー。
まぁ、どのみちこの手のでは上位とれないので^-^; お気になさらずに。。。

おうち　　 2月20日（木） 0:36:01　　　　18098

Toru Fukatsu

ｎ回ジャンケンなら（2^(n+2)-(-1)^n）／3 通りになりますね。

　　 2月20日（木） 0:36:39　　 MAIL:tfukatsu@tpth.go.jp 　　18099

鉄老

過去に東大寺やラ・サールでこのタイプの問題がでたことがあります。
最近中学入試でよく出ていますよね。今年の白陵の２次の問題もこの
類いですね。

　　 2月20日（木） 0:37:58　　　　18100

CRYING DOLPHIN

#18096
見た目からしてフィボナッチの類題のようだ
→フィボナッチ問題のように勝ち・負けあいこ　の場合に分けて書き出し
→３回目あたりでフィボナッチもどきの規則が見えてくる

という感じでした、私の場合。

類題の経験があれば同じような展開になった人も多いはず。
逆になれていなければ、相当にてこずる問題だと思います。

Taroさんの書き込みを見る限り、類題があるのでしょうか。
（でも、土佐塾中って…地元以外ではかなりマイナー(^^;）

幼稚園ピカチュウ組　　 2月20日（木） 0:39:31　　 MAIL:非公開(セキュリティ上) HomePage:いろいろ。算数もあったり…　　18101

フィリピンの鷹

この数列、規則性がわからず。
結局５回戦目の４３まで数えてしまいました。

フィリピン　　 2月20日（木） 0:42:59　　 MAIL:yasuhiro@ashitani777.com 　　18103

あんみつ

#18101
私もFibonacci系を疑ってかかったのですが、いかんせん問題を勘違いしていたので。。。例が訂正されたときにはFibonacciのことは頭の中からすでに消えていました。。。^-^;;;

おうち　　 2月20日（木） 0:43:02　　　　18104

遠い山のぽきょぽん

負けか引き分けの総数が０，１，２，３，４回のときを場合分けして数え上げました。

例えば３回なら

☆◎☆◎☆◎☆◎☆

☆で示したところのいずれかに来るはずなので
５Ｃ３×２＾３＝８０という具合に。

…ここの過去問で似たような問題をはやく解いたことがあったから
入賞できてもおかしくないはずの問題だったのに。。

完全に機会をのがしてしまった。（ポカーン..

遠い山から　　 2月20日（木） 0:50:58　　　　18105

るてみいな

マトモに漸化式解きにいきました。
A_n=(2^(n+2)-(-1)^n)/3 。
よって、A_7=171 。

　　 2月20日（木） 0:53:40　　　　18106

ponta55555

私も、例で８回じゃんけんが載っていたので、あいこはもう一回やると考えてまして、
必ず、勝ちか負けの勝負が７回決まるまでジャンケン勝負をやるものと、思っていました。
あと、勝敗表という表現が、うまく理解できませんでした。

ですので、
▲→◎→▲→◎→▲→◎→▲→◎→▲→◎→▲→◎→▲→◎や
▲→◎→▲→◎→▲→◎→×→◎→▲→◎→▲→◎
なども、数えていました。
この数え方で、誰か、一人くらいは、５７７通りになった人はいないかなあ？＾＾

結局は
１＋７Ｃ１×２＾１＋６Ｃ２×２＾２＋５Ｃ３×２＾３＋４Ｃ４×２＾４
＝１＋１４＋６０＋８０＋１６
＝１７１
とやりました。

　　 2月20日（木） 1:30:01　　 MAIL:ponta55555@hotmail.com 　　18107

むらかみ

僕もあいこで再試合と勘違いし、初めに変な答えを送ってしまったのですが、
この設定ではややこしかったので「例はマサルさんのミスだろう」と勝手に判断して答えを出しました。
こういう感覚だけ身に付いてるんだよなあ（笑

#18096
算数に慣れている人間であれば易しい方だと思います。
ただ、３分切ってる人は凄いですよね。
ましてや１分なんて人間わざとは思えません。

　　 2月20日（木） 1:30:42　　　　18108

トトロ＠Ｎ

#18105　同じです。
もし、勝ちと負けしかないとすると、７勝の場合が１通り、６勝１敗の場合が７通り、５勝２敗の場合が7Ｃ2－6＝15通り
３勝４敗の場合が１通りで、全部で34通り（フィボナッチ数列）なので４勝３敗の場合が残りの10通り
実際には負けとあいこがあるので、
１＋７×２＋15×２×２＋10×２×２×２＋１×２×２×２×２＝171(通り)
今日は飲み会だったので終電前で帰宅。参戦は午前２時前となりました。
飲んでる割にはすんなり解けた。でもこの書き込みがうまく打てないよ～！

兵庫県明石市　　 2月20日（木） 2:17:07　　 MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp 　　18109

Banyanyan

#18105,#18107,#18109
ほぼ同じような解き方でした。

#18099,#18106
でも、どうして漸化式なんて簡単にできちゃうんでしょうか。
場合の数は苦手です。だれか教えてくださ～い。

京都府　　 2月20日（木） 2:56:38　　 MAIL:banyanyan@bj.wakwak.com 　　18110

ゆんななこ

うーん。
樹形図もどき(!?)でときました。

か―３―３
　　　　　か
　　　　　か
ま―か―３
あ―か―３

って感じに。

おうち　　 2月20日（木） 7:36:33　　 HomePage:ゆかんづめ　　18111

いにょ

最初を勝ったとして４試合目まで書き、あとはそれを使って応用でときました

家　　 2月20日（木） 8:03:49　　 MAIL:inyo@pyon.ne.jp HomePage:如来堂　　18112

らんま

　　１回目　　　　２回目　　　　　　　　　７回目
◎　　１　　　１回目の◎＋△＋×　　　６回目の◎＋△＋×　　８５
△　　１　　　１回目の◎　　　　　　　６回目の◎　　　　　　４３
×　　１　　　１回目の◎　　　　　　　６回目の◎　　　　　　４３
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１７１だね

　　 2月20日（木） 8:54:06　　 MAIL:hideko@mti.biglobe.ne.jp 　　18114

フランク長い

n回勝負で最後が勝ちの場合a(n)通り、最後が負け、あいこの場合をb(n)通り。
a(n+1)=a(n)+b(n),b(n+1)=2a(n)
一般式も出せるんですね

　　 2月20日（木） 9:19:21　　 MAIL:tahchan99@yahoo.co.jp 　　18115

ミミズクはくず耳

おはようございます。

並んだ碁石から、どの碁石も隣り合わない様に選ぶ場合の数
http://kurihara.sansu.org/sugaku/003.html　（の一番下）
の応用で、f(n+2) = f(n+1)+2*f(n) で解きました。

遠いところ　　 2月20日（木） 10:13:26　　 MAIL:mae02130@nifty.com 　　18116

有無相生

フランク長いさんとほとんど同じです。
最後が負けをb(n),
最後があいこをc(n)とすると、
a(1)=b(1)=c(1)=1で、
a(n+1)=a(n)+b(n)+c(n)
b(n+1)=a(n)
c(n+1)=a(n)
の関係式がでてあとはEXCELで計算させて、a(7)+b(7)+c(7)=171

where i am　　 2月20日（木） 10:14:11　　 MAIL:ancoromochi@ba.wakwak.com HomePage:有無相生の世界　　18117

M.Hossie

　こんばんにゃ。いつもなら樹形図でシコシコやるのですが、今回は珍しいことに漸化式 A(n) = A(n-1) + 2A(n) が速攻で思いつきました。A(1) = 3, A(2) = 5 の初期条件でこの漸化式を解けば、A(n) = {2^(n+2) - (-1)^n}/3 です。よって、A(7) = 171 通り .....Final Answer。

東京郊外　　 2月20日（木） 10:34:16　　　　18118

長野　美光

#18108
＞ましてや１分なんて人間わざとは思えません。
彼、人間じゃないから．．．

えっと、今、天津にいます。
http://yosshy.sansu.org/janken.htm
この記事を先月書いたので、漸化式はすぐでした。

明日、帰国です。

インドネシア　　 2月20日（木） 10:46:28　　 HomePage:ヨッシーの算数・数学の部屋　　18119

トトロ＠Ｎ

#18118
ゆうべはお酒のせいでちょっと鈍かったようですね。
確かに漸化式だと簡単ですね。
#18119
彼は人間じゃなかったんですね。

兵庫県明石市　　 2月20日（木） 11:06:07　　 MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp 　　18120

M.Hossie

>彼、人間じゃないから．．．
　ハハハハハ！　それが Taro 氏の「味」ってもんよ！
　しかし、どういう思考回路を持っていたら、この問題１分で解けるのか知りたい。漸化式解くのだって数分掛かっちゃうしね・・・。

東京郊外　　 2月20日（木） 11:22:20　　　　18121

Banyanyan

小学生ならこんなかんじでしょうか。
ラ・サール中でよく出ているパターンでしょうか。
　　　　　　◎　　　　　　　　　　　△　　×
１個目　　　　　　　　　　　　１　　１　　１
２個目　　１＋　１＋　１＝　３　　１　　１
３個目　　３＋　１＋　１＝　５　　３　　３
４個目　　５＋　３＋　３＝１１　　５　　５
５個目　１１＋　５＋　５＝２１　１１　１１
６個目　２１＋１１＋１１＝４３　２１　２１
７個目　４３＋２１＋２１＝８５　４３　４３

８５＋４３＋４３＝１７１

京都府　　 2月20日（木） 12:52:27　　 MAIL:banyanyan@bj.wakwak.com 　　18122

kazaya

＼　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７
　◎　１　　３　　５　１１　２１　４３　８５
△×　２　　２　　６　１０　２２　４２　８６

という表を作って考えました（てか、あまり考えてない）。基本的にはらんまさんと同じですかね。
上段(◎)は左の上下段の和。　（前回の結果に関わらず１通り）
下段(△×)は左の上段の２倍。（前回◎のみ△×各１通り）
そう機械的に埋めていけば、計算は１５秒で十分。
単純パターンにさえ気がつけば、１分でもできると思います。
僕も瞬殺でした。(問題見たのが昼過ぎでしたが…)

　　 2月20日（木） 13:17:22　　　　18123

Taro

#18121
>　しかし、どういう思考回路を持っていたら、この問題１分で解けるのか知りたい。漸化式解くのだって数分掛かっちゃうしね・・・。

解答時は漸化式を考えたあと、それを解かず、足し算に走りました。
書いているうちに以前同じようなことをやったことを思い出し、調べたら
土佐塾中１３年度福岡・大阪版の問題にありました。(HPに問題は転がってます)
こちらは5つまでですので書き出しでも十分解けますが。

新しいPC＆回線　　 2月20日（木） 14:03:24　　 MAIL:tarox@nifty.com HomePage:もうひとつの理科チャレ２　　18124

M.Hossie

#18121
　そうか！　いちいち一般項なんか計算しなくても、n = 7 の時だったら素直に書き出して足し算した方が早いですね。漸化式出てくると、どうしても一般項を計算せずにはいられない性格なもんで・・・・。Taro さんには脱帽です。

＃しかしそれにしても、１分以内でその足し算を間違いなくやるってのもすごい。

東京郊外　　 2月20日（木） 15:48:37　　　　18125

???

Cです。
#include<stdio.h>
#include<conio.h>
static int KOTAE=0;
void saiki(int n, int a[]);
void main(){
int a[8];
saiki(1, a);
printf("答:%d通り\n", KOTAE);
getch();
}
void saiki(int n, int a[]){
int QX;
for(a[n]=0; a[n]<=2; a[n]++){
if(n==1 || a[n]==0){
QX=1;
}else{
QX=(a[n-1]==0);
}
if(QX){
if(n<7){
saiki(n+1, a);
}else{
KOTAE++;
}
}
}
}

　　 2月20日（木） 16:17:09　　　　18126

ハラギャーテイ

やっと入れた。

プログラムにてこずった。これに懲りずにがんばろう。

北九州　　 2月20日（木） 16:40:21　　 HomePage:ハラギャ－テイの制御工学にチャレンジ　　18127

ねこやん

数列です。
ｎ回試行を行うならば、1回目に勝ちならば次からのパターンはa(n-1)通り
負けorあいこならば次はかならず勝ちでそれからはa(n-2)通りで
an=a(n-1)+2a(n-2)（ｎ≧３）
で順次求めていくとa7=171

　　 2月20日（木） 17:25:05　　　　18128

吉川　マサル

あのーーー、非常にお恥ずかしい話なんですが・・、

http://www.sansu.org/TEST.gif

この問題、解いてみていただけないでしょうか。一応中学生の問題なんで、使えるのは三平方の定理と円の性質くらいまでなんですが...。

Mercury　　 2月20日（木） 18:20:02　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　18130

ミミズクはくず耳

>#18130
どうやるんでしょうねえ???
Excelで答えは分かったので、
少なくとも算数で解けないことは分かりましたが。

遠いところ　　 2月20日（木） 20:16:51　　 MAIL:mae02130@nifty.com 　　18131

ふじさきたつみ

樹形図を半分書いてもとめました。◎から4代目は１１こ、×から5個、△から5個
なので、7代目は１１×１１＋５×１０＝１７１
＃１８１３０の問題はこれからやってみます。

　　 2月20日（木） 21:13:59　　 MAIL:fujisaki@octv.ne.jp 　　18132

野原燐

あーあ、３回目でやっとできたがまだよく分かっていない。

　　 2月20日（木） 23:00:20　　 MAIL:VYN03317@nifty.com 　　18133

ふじさきたつみ

＃１８１３０の問題　解けたんでしょうか？
　
＜補題＞
　　　四角形ＡＢＣＤの対辺ＡＢ，ＣＤと等角をなす直線を、円の中心Ｏを
　　通ってひき、ＡＢ，ＣＤと交わる点をＥ、Ｆとすれば、
　　　　　ＡＥ・ＦＤ＝ＢＥ・ＣＦ＝ＯＥ・ＯＦ
＜証明＞
　　　等角の大きさを　ｘとおけば、　　　∠ＡＥＯ＝∠ＯＦＤ＝ｘ
　　　ＯをＡ，Ｄと結べば、　　　　　　　∠ＥＡＯ＝∠ＯＡＤ（＝ｙとおく）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∠ＯＤＡ＝∠ＦＤＯ（＝ｚとおく）
　　　四角形ＡＥＦＤにおいて、内角の和をとると、
　　　　　　２ｘ＋２ｙ＋２ｚ＝３６０度
　　　　　∴　　ｘ＋ｙ＋ｚ＝１８０度　　・・・・・①
　　　△ＡＥＯの２つの内角が、ｘ、ｙであるから、①によって
　　　　　　　　∠ＡＯＥ＝ｚ
　　　同様にして、　　　∠ＡＯＤ＝ｘ、∠ＤＯＦ＝ｙ
　　　よって、　　△ＡＥＯ∽△ＡＯＤ∽△ＯＦＤ
　　　　　　　∴　　ＡＥ：ＥＯ＝ＡＯ：ＯＤ＝ＯＦ：ＦＤ
　　　　　　　∴　　ＡＥ・ＦＤ＝ＯＥ・ＯＦ　・・・・・②
　　四角形ＥＢＣＦで同様にして、
　　　　　　　　　　ＥＢ・ＣＦ＝ＯＥ・ＯＦ　・・・・・③
　　　②、③により　証明された。

　次に　Ｏから、ＡＢ，ＣＤに垂線を引いて、交点をＧ，Ｈとして、
　　　　　　　　ＧＥ＝ＨＦ＝ｋとすると
　　　　　補題より　
　　　　　　　ＡＥ・ＦＤ＝ＢＥ・ＣＦ＝ＯＥ・ＯＦ
　　　　　よって、これに問題の数値を代入すると、
　　　　　　　（２＋ｋ）（１＋ｋ）＝（３－ｋ）（４－ｋ）＝ＯＥ・ＯＦ
　　　　　これより、ｋ＝１、　になり、
　　　　　　　ＯＥ・ＯＦ＝３×２＝６
　　　　　∴　　ＯＥ＝ＯＦ＝√６
　　　また、△ＯＧＥは直角三角形なので、ピタゴラスの定理より
　　　　　　　　ＯＧ＝√５
　　　　よって、求める内接円の半径は、√５　　
　＃１８１３１　算数では解けないそうですので、√５はいいせん？　　　　

　　 2月20日（木） 23:06:07　　 MAIL:fujisaki@octv.ne.jp 　　18134

わっき

ちなみに8回戦の場合は、293通りになるような気が・・・
341が正しいのでしょうか

　　 2月21日（金） 18:27:06　　　　18135

ミミズクはくず耳

#18134 ふじさきさん、すごいですね。

ちなみに私は
{atan(x)+atan(x/2)+atan(x/3)+atan(x/4)}/pi() = 1
となるxを探したら、2.2360679に行き着きました。
（単調なんですぐ見つかります）
なお、atanはアークタンジェント、pi()はパイ（π）です。

遠いところ　　 2月21日（金） 19:53:22　　 MAIL:mae02130@nifty.com 　　18136

M.Hossie

この #18130 の問題、難しいですね。昨夜遅くまで格闘しましたが轟沈しました。
まずは 2{Arctan r + Arctan r/2 + Arctan r/3 + Arctan r/4} = 2*pi (360 度) ということで、この図形と半径 r が一意に決まることは分かったんですが、これに正弦定理などの三角函数をあれこれやってもダメでした。藤崎さんサスガです。

P.S. ホンマにこれ、中学生向けの問題なんかしら？？？

東京郊外　　 2月21日（金） 21:01:48　　　　18137

トトロ＠Ｎ

#18135
漸化式によれば、6回戦が85通りで7回戦が171通りなので、8回戦は85×2＋171＝341通りになります。
また、8勝の場合が1通り、7勝の場合が8×2＝16通り、6勝の場合が21×4＝84通り、4勝の場合が5×16＝80通り
最後に5勝の場合が、55－（1＋8＋21＋5）＝20　20×8＝160通りで、1＋16＋84＋160＋80＝341通りとなりました。

兵庫県明石市　　 2月21日（金） 21:11:55　　 MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp 　　18138

ハラギャーテイ

#18137　M.Hossiさん　　#18136　ミミズクはくず耳さん　　
Mathematicaでは

Solve[ArcTan[x] + ArcTan[x/2] + ArcTan[x/3] + ArcTan[x/4] == Pi, x]

として解が　　x->Root(5)　と何の警告もなく出ました。

北九州　　 2月21日（金） 21:21:25　　 HomePage:ハラギャーテイの制御工学にチャレンジ　　18139

M.Hossie

#18139
　何の警告もなく出るということは、r = root5 というのが一意解なのでしょうね。コンピューターの力は偉大ですね。これを人間の手計算でやれなんて言われた日にゃあ。。。 (涙

東京郊外　　 2月21日（金） 22:15:12　　　　18140

吉川　マサル

#18134
　うお、ありがとうございます！といってもまだ読めてないのですが..。これから読みます。（大学入試直前で質問やら何やら忙しくて....ゴメンナサイ）
　それにしても、きちんと初等幾何で解けるんですね！スゴイっす。

Safari　　 2月22日（土） 0:28:31　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　18141

前田先生＠P進学院

久々の参加です。
５戦目まで樹形図を書きました。
で、３、５、１１、２１、４３
そこで規則性を考えたとき
３　→５　（　３＊２－１）
５　→１１（　５＊２＋１）
１１→２１（１１＊２－１）
２１→４３（２１＊２＋１）
となっていたので
（４３＊２－１）＊２＋１＝１７１

毎回参加を誓ったのが去年の１月・・・
で、結局ほとんどこれてない(涙）
もっと時間が欲しいです

シンデレラ城203号室　　 2月22日（土） 4:12:41　　　　18142

わっき

＞トトロ＠Ｎさん、ありがとうございました。
そうか、4勝は5通りあるんですよね。

皆さん#18130で盛り上がる中、失礼しました。

　　 2月22日（土） 10:23:05　　　　18143

Toru Fukatsu

わたしには初等幾何は無理ですが、三角関数なら、
tanθ1＝1/r,tanθ2＝2/r,tanθ3＝3/r,tanθ4＝4/r,
tan(θ1+θ2+θ3+θ4）＝０、(θ1+θ2+θ3+θ4＝π)をtanの加法定理を３回使って、計算すると、分子がtanθ1+tanθ2+tanθ3+tanθ4-tanθ1tanθ2tanθ3-tanθ1tanθ2tanθ4-tanθ1tanθ3tanθ4-tanθ2tanθ3tanθ4=10/r－50/r^3=0 よりr＝√5

　　 2月22日（土） 11:22:37　　　　18144

つく子

学校で同じようなことをやったので，（漸化式）
すぐに解けました．

　　 2月22日（土） 13:48:26　　　　18145

神

やっと入れた

　　 2月22日（土） 19:01:44　　　　18146

bokkun

ひえぇ。85＋86を間違えて191にしてましたぁ。

次回もがんばりま～っす。

　　 2月22日（土） 20:59:14　　　　18147

koba-shonen

樹形図書いて、シラミツブシにやりました。
昔から、「何通りか」という問題は「全部書き出して数える」という手しかパッと思いつかなかったもので…（←これで国立大学現役合格…^^）

　　 2月23日（日） 1:53:13　　 MAIL:mune-kobayashi@ck.tnc.ne.jp 　　18148

大岡　敏幸

全部勝った表を元に考えました。
◎　◎　◎　◎　◎　◎　◎
これにあいこ▲、負け×をあてはめていきました。（地道かな？）
１回勝てなかった時、上記の◎のどこかに▲、×のいずれかが入る。
よって７×２通り（▲、×の２通り）
同じようにあとは２，３、４回勝てなかった場合を考える。最高で４回勝てない場合がある。５回以上はなし。

０回：１　　１回：７×２　　２回：１５×４　　３回：１０×８　　４回：１６
まとめて　　１＋１４＋６０＋８０＋１６＋＝１７１

よって１７１通り　　今回は算数らしく解かせてもらいました（＾＾）

石川県　　 2月23日（日） 22:55:56　　 MAIL:toshi009@land.hokuriku.ne.jp 　　18149

ハラギャーテイ

#18137　M.Hossiさん　　#18136　ミミズクはくず耳さん
#18144 Toru Fukatsuさん

BAを延長してCDを延長して交わったところをEとすると
AE=3、　DE=4　となる。（ここが問題ですが）
すると　ヘロンの公式Root(s(s-a)(s-b)(s-c))で面積はもとまり、
内接円からの面積はs*rなのでr=Root(5)
これも同じ大学入試程度でしょうか。
結局私にはわかりません。

北九州　　 2月24日（月） 16:31:52　　 HomePage:ハラギャ－テイの制御工学にチャレンジ　　18150

武田

#18150
△ＥＡＢと△ＥＣＤの面積の比を２通りに表します。
ひとつは∠Ｅが共通なことで、
もうひとつは内接円と傍接円の半径を用いて各三角形の面積を表します
ちなみに出てくる方程式は数値（今回は１４ですね）によらず１次方程式になります。

　　 2月25日（火） 17:13:51　　　　18151

武田

１４→１～４

　　 2月25日（火） 17:14:55　　　　18152

M.Hossie

#18150, #18151
　ハラギャーテイさんの解法も武田さんの解法も follow 出来ました。シンプルに見える問題が案外難しいという好例ですね。

　ところで、本日行われた東大入試の理系数学の６番目、「円周率π＞3.05 を証明せよ」。これはすごい。級数展開を利用するような解法はいかにもまずいし・・・。どうやったらいいのかしら？　今晩少し考えてみます。

＃「π＞3 を証明せよ」だったら、円内接正六角形で小学生の問題なんですがね。

東京郊外　　 2月25日（火） 20:43:18　　　　18153

tomo

円内接正12角形でsin15°を計算してあげると
π＞3.1が言えました。

　　 2月25日（火） 23:05:48　　　　18154

tomo

次にいける場合の数を数字で表し、
◎→3
▲→1
×→1
３の数　1　1　3　5　11　21　43
１の数　0　2　2　6　10　22　42
と表を作り
４３×３＋４２＝１７１と求めました
表は
３の数：n+1回目はn回目の３の数＋１の数
１の数：n+1回目はn回目の３の数×２
の関係です
n＋１回目はn回目の３の数＋１の数

　　 2月25日（火） 23:14:02　　　　18156

Toru Fukatsu

内接円の中心をOとして三角形ODCをDがA、CがBへ重なるように移動してOの移動先をO'とすると、四角形O'BOAは角AOB＋角AO'B＝180°だから円に内接し、この円の中心をPとするとPはABの垂直ニ等分線上にある。さらにABとPの距離をxとすれば、PO'＝PO＝PAより(r-x)^2+(3/2)^=(r+x)^2+(1/2)^2=x^2+(5/2)^2 これを解けばr=√5 これなら中学レベルで行ける？

　　 2月25日（火） 23:32:33　　　　18157

M.Hossie

　結局昨夜遅くまで東大数学の問題を全部解いちゃいました。文系数学で４完、理系数学で５完です。レベル的には昨年よりちょいムズですが、昨年同様「目くそ鼻くそ」レベルの感が有ります。この易化傾向は定着したと考えても良さそうな感じですね。この位のレベルの方が得点分布が幅広くなって篩い分けしやすそうです。理系なら理１・理２で３完、理３で５完すれば数学で落ちることは有り得ないでしょう。また例によって多少のコメントなど。

[文１・理１]共通問題だが、文系用は１つ条件を増やして軸の位置の場合分けの手間を減らしている。まあどっちにしても２次函数の最大最小というチャート式とかに有りがちな典型問題。これを落とすと苦しい展開。
[文２]線型計画法 (Linear planning) ですね。これも『オリジナル数１』の例題に有りがちです。a 又は b が負だったら原点が最小値になるのは当たり前なので、y 切片が正の時の２つの切片の上下関係で場合分けするだけでしょう。
[文３・理４]共通問題だが、文理で微妙に符号が違うのと、誘導の与え方も微妙に違う。(1) は解と係数の関係、(2) は１の位がサイクルすること、(3) ではβは -1 と 1 の間であることが分かればたわいもない。これも落とすと苦しい展開。
[文４]具体的に n = 2 まで書き出せば分かるはず。(3) は漸化式を使うヤツです。東大では漸化式を用いた確率の問題が超頻出です。受験生が必ずマスターしておくべきテクでありましょう。
[理２]ぼくはこれから解き始めました。t = 3 を入れれば角度が 45 度になるのが分かるので、きっとこの P の locus は AB を弦とする優弧だなと察することが出来る。実際、(B-P)/(A-P) をせこせこ計算すれば (1 + i) が出て来るので、arg が 45 度になる。(2) は計算なんかせんでも、A, B, O を通る３点の円の方程式はすぐ分かるので、中心に関して O と対称な点 (6 + 8i) が求める答えなのだと知れる。
[理３]断面積を積分して体積を出すってのも東大では頻出で、この問題ではわざわざ「 z = t での切り口の面積を考えよ」とか「t = 1 - cosθと変数変換せよ」なんて出血大サービスである。(1) を出すのは簡単だが、積分計算には「和積変換公式」を駆使せねばならず骨が折れる。答えはπ- 16/9 と、とても簡単な値になった。
[理５]ぼくは (1) だけ解いて気力が萎えました。余事象を考えまくりなのですね。理系の中では一番大変な問題なのでは？
[理６]「π＞3.05」ですが、ぼくも円内接正１２角形の周長で考えたらすぐに出来ました。いやもっと多角形で近似しないといけないかなとか思ったんですが。確かユークリッドさんは正９６角形くらいまで計算して円周率を出してたという話で、偉大なる「暇人」であります (ガウスさんだったかも？)。因みに、ユークリッドが研究していた場所は古代エジプトのアレキサンドリアであり、彼の著作がラテン語に訳されたのはルネサンス期なのであります (世界史の一問一答に出ていた)。まあこんなところで。

東京郊外　　 2月26日（水） 21:19:07　　　　18158